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近期有同学问到2018年天津理科第18题数列中是如何进行裂项求和的，因为这个题目在裂项之前会发现分母虽是两项相乘的形式且差为常数，但是分子并不是常数，而是一个关于n的式子，今天借此题目给大家讲一下如何处理裂项法中分子不是常数的形式。
2018年天津理18题目如下：
重点注意上面红框的部分，相信很多同学都知道在这一步需要用裂项求和法，但是有一部分学生没办法将其裂开，原因是题目不是常见的分子为常数的形式，而是分子中带有项数n，且分子部分和分母部分没什么关联裂项法，我们都知道裂项法是将一个式子裂成两项相减(通常是前后两项相减)的形式，在上面的题目分母中相乘的两项可以看成是某数列的前后两项(n+1)项和(n+2)项，注意这里很关键，一定是不同的项，如果分母中两项乘积中的n为相同的两项，则需要手动调整裂项法，如下：
先不考虑如何裂开，此时分母中的n可以看成是相同的项即n+1项，此时需要进行手动调整，即分子分母同时除2即可，如下：
因为天津理科这个题目分母已经是前后两项的关系，不需要考虑上述的形式，如果不知道如何进行裂项，可以采用待定系数法，将裂项的部分单独提取出，步骤如下：
设
比可得：
所以可得到：
剩余步骤不再给出，所以确定题目可以利用裂项法之后如果分子是带有n的式子且不知道如何进行裂项的时候可以利用上述待定系数法求解，接下来对分子不为常数的裂项求和法进行扩展。
我们常见的裂项方法如下
若{an}为等差数列，则以上的形式总结起来如下形式：
此时就变成了分母是等差数列不相同两项的乘积，两项差肯定为常数，分子不再是常数，而是一个带有n的式子，因此如果遇到分子是n的式子且分母是两项乘积的形式，则观察带有n的分子部分是不是分母中两项差的倍数，如果是，则直接可以裂项为两项相减的形式，将结论推广可得到一般性结论：
例题如下：
注意：Tn的式子分母中两项之差为常数，此时分子中带有n且与分母无关，注意此时分母的两项是相同的项，均为n+1，因此裂开之后我们需要不同的两项相减的形式，考虑到分母中两项形式的对比，此时可以分子分母同时除以2得到如下式子：
此时可以利用待定系数法求出裂项之后的形式，但是注意，分子中含有n的式子其实是分母两项相减之后的3/2倍，所以利用上面结论的推广，可以这么做：
总结：
1.注意本次课中的结论很重要，需要理解并熟练掌握，当含有n的分子部分是分母两项差的k倍时，可以直接利用结论进行裂项，如果不是，则利用待定系数法。
2.待定系数法是一个很实用的方法，特别是在分子含有n的情况，但是需要注意分母必须是不同的两项，如果不是需要手动调整。
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