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今天我们来硬啃一个积分:
这个普通反常积分是不收敛的,不过这里只考虑”柯西主值”意义下的积分值,
也就是计算:
也就是先积出一个带ε的式子,然后对这个式子求极限,得到柯西主值。
至于为什么叫”硬啃”呢，一来计算量真是挺大的，只能咬牙硬啃；二来中途还碰到了原函数很复杂的情况，复杂也就算了，还不是初等函数，也咬牙强吃了；三来对比更好的解法，本文这个办法真是显得十分生硬，纯属硬啃强吃。
说一下主要思路，其实就是一个：
算出原函数，然后你懂的…
活脱脱的：
技巧不够，计算量来凑。
虽说主要思路是算出原函数然后…，但其实不是算x^2*tanx的原函数，因为根本就没必要计算。我们先来化简一下式子，首先显然后一个积分看着更不爽，所以尝试化简一下：
取y=π-x,
看到这结果可真把人乐坏了，因为第一个积分被消去了tanx的原函数，意味着最复杂的x^2*tanx根本就不用计算，顶多处理一下x*tanx就行了。
所求结果此时简化为：
后一项tanx的积分是非常简单的，不难知道原函数是：-ln(cosx)
带入后可得：
前一项x*tan(x)的积分比较棘手，千万别用手强算原函数，因为原函数没有初等形式。但是……也可以算出来（用软件）：
看到这个原函数，你应该明白有多少计算量了吧。
顺便插一嘴，反正都用软件算原函数了，为啥不直接用软件算整个柯西主值呢？我也想啊，问题是软件没算出来啊：
软件也不是万能的，所以还是老老实实用手算吧。
原函数这里的Li2(x)不是初等函数，不过这里不用细究，只需知道它是连续的所以可以取极限，以及两个特殊位置的取值即可：
x=0处的值还是好算的：
下面来看另一个端点x=π/2-ε处的值
首先x^2那一项比较好算：
其次来看一下带Li2的那一项：
最后再来看ln那一项，这一项是最复杂的，我们先化简一下ln部分：
其次再把x=π/2-ε带入这一块：
现在所有项都算出来了，我们把所有数据带回原式：
也就是说：
仔细看计算的过程，可以发现”lnsinε”这一项在ε→0时是没有极限的，所以原积分并不收敛，只有在“柯西主值”的意义下，两处极限逼近速度相同时，两个积分的这两项才会相互抵消，才能求出一个积分值。不过对于一般碰到的复变函数积分来说，在某些路径能求出“柯西主值”意义下的积分也够用了。
最后提一下为啥要算(硬啃)这个积分，因为在另一个积分的计算中，一不小心“免费”得到了这个积分的结果，于是想验证一下免费结果对不对，于是强算了一下，发现是对的。也就是说tanx的原函数，这个积分的计算还有一种更巧妙的办法，而且几乎等于“白送”，具体是什么方法呢，敬请期待…
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