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【理论基础】三角形中的线段除了三条边之外，还包括：三边的高线、三边的中线、三个角的角平分线以及三条边的中垂线。这些与三角形有关的线段都有特定的性质，我们在后续章节中会陆续学习三角形边长关系，现简要归纳如下：
1、三角形三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
2、三角形的高：三角形三条高相交于一点，这点称之为该三角形的垂心；
3、三角形的中线：三角形三条中线相交于一点，这点称之为该三角形的重心；
4、三角形的角平分线：三角形三条角平分线相交于一点，这点称之为该三角形的内心（内切圆的圆心）；
5、三角形三边的中垂线：三角形三边的中垂线相交于一点，这点称之为该三角形的外心（外接圆的圆心）。
本文我们主要讨论三角形三边关系，以及与三角形的高有关的一些常见题型。
【题型1】求三角形边长的取值范围
【例题1】已知三角形的三边长分别为、、x，则x的取值范围为．
【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三步，两边之差小于第三边，列出x满足的不等式即可求解．
【详解】∵三角形的三边长分别为1、4、x，
∴4-1
解得3
故答案为：3
【点睛】本题考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系是解题的关键．
【例题2】如图，已知P是△ABC内任一点， AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC的值一定大于（）
A．14B．15C．16D．28
【分析】在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后根据不等式的性质即可得到正确的结论.
【详解】如图所示，在△ABP中，
AP+ BP> AB，
同理: BP + PC > BC，AP+ PC > AC，
以上三式左右两边分别相加得到:
2(PA+ PB+ PC)>AB+ BC+ AC,
即PA+ PB+ PC>(AB+ BC+ AC)/2，
∴PA+ PB+ PC>(12+10+6)/2=14，
即PA+ PB+ PC>14
故选A.
【点睛】本题主要考查的是三角形的三边关系，在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后即可得到正确的结论.
【题型2】三角形边长与代数式化简相结合
【例题1】若△ABC的边a，b满足式子：a2+6b2-8b+8=4ab，则第三边的长可能是（）．
A．2B．5C．7D．8
【分析】利用因式分解技巧，将原式a2+6b2-8b+8=4ab拆项之后得到两个完全平方式，进而得到两项平方之和为了的式子：(a-2b)2+2(b-2)2=0，从而确定a，b的值，再根据三角形三边关系定理计算判断即可．
【详解】∵a2+6b2-8b+8=4ab，
利用拆项凑完全平方：
a2-4ab+4b2+2b2-8b+8=0
∴(a-2b)2+2(b-2)2=0
∴a-2b =0, b-2=0∴a=4, b =2，
根据三角形三边关系可知，第三边x满足:
4-2
∴第三边的取值范围是2
故选B．
【点睛】本题考查了拆项因式分解，完全平方公式，实数的非负性，三角形的三边关系定理，熟练掌握实数的非负性，完全平方公式是解题的关键．
【例题2】已知a,b,c是一个三角形的三边，则a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2的值是（）
A．恒正B．恒负C．可正可负D．非负
【分析】根据三项完全平方公式以及平方差公式将代数式因式分解即可求解．
【详解】a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2
=a4+b4+c4+2a2b2-2b2c2-2c2a2-4a2b2
=(a2+b2-c2)2-4a2b2
= (a2+b2-c2+2ab)(a2+b2-c2-2ab)
=[(a+b)2-c2][(a-b)2-c2]
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
∵a,b,c是一个三角形的三边，
∴a+b+c>0, a+b-c>0, a-b+c>0, a-b-c
∴原式
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键．
因式分解的技巧无处不在，无论在整式分式运算、解复杂方程或者函数运算中都需要用到因式分解的技巧。
【题型3】利用边长关系求解面积相关问题
【例题1】如图所示，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且AD：BD=3：4，AE：CE=2：1，连接DE，那么S△ADE :S四边形BCED=（）
A．1/2B．2/5C．3/7D．4/9
【分析】连接BE，即可将四边形BCED分割，化为两个三角形求解面积，又可以利用△ADE与△BDE同高的便利。故可设S△ADE=6S,利用△ABE，△ADE有相同的高，则面积之比等于底边长度之比，即可求解．
【详解】连接BE，设S△ADE=6S，
∵AD：BD=3：4，
∴S△BDE=8S，
∴S△ABE=S△ADE+S△BDE=14S，
又∵AE：CE=2：1，
∴S△ABE: S△BCE =2:1，
∴S△BCE =7S，
∴S四边形BCED=S△BDE+S△BCE =15S，
∴S△ADE:S四边形BCED=6S :15S =2:5，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的面积，能够根据线段的比表示出三角形面积的比是解题的关键．
请参看视频讲解
【例题2】已知：如图所示，△ABC中，D、E分别在边AC、AB上，CD=3AD，BE：AE=3：2，求DF：FB的值．
【分析】先利用线段之比转换成面积之比，得到S△CDF:S△AFD=CD:AD=3:1和
S△AEF:S△BEF=AE:BE=2:3，再求出S△CFB=6a，再利用DF:BF=S△CDF: S△CFB即可得到答案；
【详解】如图，连接AF，
∵CD=3AD，
∴S△CDF:S△AFD=CD:AD=3:1 ,
设S△CDF=3a,则 S△AFD=a，
又∵BE：AE=3：2，
∴S△AEF:S△BEF=AE:BE=2:3 ,
设S△AEF=2x, 则 S△BEF =3x，
又∵S△CAE:S△CBE=AE:BE=2:3，
∴S△CBE=(3/2)S△CAE，
∴S△CBF=S△CBE – S△BEF=(3/2)S△CAE -S△BEF
=(3a+a+2x)×(3/2)-3x=6a
∴DF：FB=S△CDF:S△CFB=3a:6a=1:2；
【点睛】本题主要考查了如何利用三角形的边长之比转换成三角形的面积之比，灵活性强三角形边长关系，作正确的辅助线，合理利用在同高情况下，三角形面积比等于底边之比的性质是解题的关键。
【思考与总结】当需要求解三角形边长的取值范围或者与三角形边长有关的不等式问题时，通常需要利用三角形的三边关系来构造不等式；三角形的面积问题需要多思考如何利用三角形的高，如果图形是不规则图形，则需要考虑面积分割，把不规则图形转换为多个三角形面积之和来解决。
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