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离散偏差
离散偏差反应了一组给定数据样本的分散程度。在金融学领域中极为重要。举例来说，如果你要评估一个投资组合的收益风险，比较好的办法是：观察这个投资组合的历史收益率。
如果收益率始终围绕在一个恒定值，假设7%方差和标准差，那么我们会对未来的期望收益率抱有足够的信心，认为该投资组合存在很小的收益风险。而如果收益率没有规律，正负之间变化无常，并且极为分散方差和标准差，那么它的收益风险会使评估者担忧不已。
为了后续演示方便，我们先来用生成一组随机样本：
样本集
极差与平均绝对偏差
全距(Range)，又称极差，定义为数据样本中最大值与最小值的差值，它对数据样本中的异常值是非常敏感的，我们用上面生成的样本集X为例，使用包Numpy中的peak to peak方法（ptp）实现如下：
平均绝对偏差（MAD），是“观测值”离“平均值”的平均距离。公式为：
平均绝对偏差公式
方差和标准差
方差的定义是：离均差平方和的平均水平，即每一个样本点离开样本均值的距离平方和。用公式表现为：
方差公式
标准差则是方差的平方根。我们同样用Numpy的方差（var）和标准差功能（std）进行计算：
可能有同学看到这里会有疑问：方差和标准差都是衡量样本集的离散程度，那么他们又有什么区别呢？其实区别主要有两点：
第一点是量纲问题，方差由于是平方计算，得出的结果量纲与数据集并不一致。举例来说：你可以说这组同学身高数据标准差的偏差值是10cm，而用方差描述就是偏差值为100c㎡。因此方差容易造成理解上的困难，而标准差不会；第二点是方差的可微分性，方差由于是基于平方的运算，数学上具备可微分性，在一些特定的优化算法上，用方差比标准差或平均绝对偏差更为合适。
可以通过切比雪夫不等式进一步了解标准差。它讲了这么一个事情：任意一个数据集中，位于其平均数m个标准差范围内的比例，总是至少为1-1/㎡（其中m为大于1的任意正数）。
举例来说，对于m=2，m=3和m=5依次有如下结果：所有数据中，至少有3/4的数据位于平均数2个标准差范围内；至少有8/9的数据位于平均数3个标准差范围内；至少有24/25的数据位于平均数5个标准差范围内。我们这里以 m = 1.25 来举例：
切比雪夫不等式的边界似乎相当宽限,但它很有用，因为它适用于所有的数据集和分布。
半方差与半标准差
虽然方差和标准差告诉我们数据离“中心”的偏差程度，但它们并不能区分出上偏差还是下偏差。 而一些特殊情况下（如资产回报率）,通常我们更关心下偏差。通过半方差和半标准差实现衡量低于均值的观测值的偏差程度。其中，半方差的公式为：
半标准差同样是半方差的平分根。由于没有提供内建的函数，我们用自定义函数实现：
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