【理论基础】形如的函数叫做二次函数。二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：.
（2）顶点式：.
（3）交点式：,交点式又称为两根式或两点式，这里是一元二次方程的两个实数根.
确定抛物线的解析式一般要利用两个或三个独立的条件，灵活地选用不同的方法，确定待定系数。
二次函数的图象是抛物线，它有如下特点：
（1）0″ data-formula-type=”inline-equation”>,开口向上；,开口向下；
（2）对称轴是平行于轴的直线；
（3）顶点坐标是.
二次函数的性质：
（1）当0″ data-formula-type=”inline-equation”>,抛物线开口向上，并向上无限延伸；当,抛物线开口向下上，并向下无限延伸；
（2）对称轴是,顶点坐标是；
（3）当0″ data-formula-type=”inline-equation”>时,在对称轴的左侧，即时，随的增大而减小；在对称轴的右侧，即-frac{b}{2a}” data-formula-type=”inline-equation”>时二次函数顶点公式，随的增大而增大。当时,在对称轴的左侧，即时，随的增大而增大；在对称轴的右侧，即-frac{b}{2a}” data-formula-type=”inline-equation”>时，随的增大而减小.
（4）当0″ data-formula-type=”inline-equation”>时,抛物线有最低点，即当时，有最小值；当时,抛物线有最高点，即当时，有最大值。
下面我们通过例题来讲解二次函数常见题型.
【题型1】用待定系数法求二次函数的解析式.
【例题1】已知二次函数的图象经过两点，且以为对称轴，求这个二次函数的解析式.
分析：因为图象经过两点，又知对称轴方程，所以可得到关于的三个方程，故能求出的值。
详解：∵二次函数经过两点，且对称轴为.
代入点的坐标以及对称轴公式，可得：
解得：.
∴二次函数的解析式为.
中国科学技术大学出版社出版的《初中数学千题解 二次函数与相似》收集了近百道典型的二次函数的例题，进行了详细分析，对于基础较好的同学很有参考价值。
【题型2】比较函数值的大小.
【例题2】若点,在抛物线上，则（ ）.
分析：根据题设条件画出二次函数的图象，观察下列信息：开口方向、对称轴、顶点坐标。然后利用二次函数的单调性（即图象在对称轴左右两侧的上升下降趋势）来判断.另外，根据二次函数的对称性可知：当开口向下时，自变量的值与对称轴距离越远，函数值越小.
详解：二次函数的图象如图所示：
由图象可知二次函数开口向下，对称轴为,顶点坐标为,在时，函数值随的增大而增大，在-2″ data-formula-type=”inline-equation”>时，函数值随的增大而减小.且自变量的值与对称轴距离越远，函数值越小.
因为点的自变量的值到对称轴的距离分别为,所以
答案：.
【题型3】二次函数与几何变换.
【例题3】把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的解析式为,则（ ）.
分析:函数平移的基本规则是：加往左，减往右.但在运用这一规律是需要清楚的是：这一变化规律是从原函数到新函数的变换。变换前后的函数不能搞混.
详解：由题意可知，平移后的函数解析式为：
.
将该函数图象按相反方向平移即能得到初始函数的图象，即将该函数向左平移3个单位二次函数顶点公式，再向上平移2个单位，此时函数解析式为：
.
∴.
答案：.
【题型4】从二次函数的图象中获取信息.
【例题4】二次函数的图象如图，给出下列四个结论：
;
;
;
.
其中正确结论的个数是（ ）.
分析:从二次函数图象读取函数隐含的信息，应从以下几个角度去思考：①函数图象与轴的交点个数，反映了的符号，同时也可以反映一元二次方程的根的正负性;②与轴的交点可以反映的符号性质；③对称轴的位置可以反映系数的符号关系和数量关系；④顶点坐标可以求某些最值问题.
详解：由图象可以得出以下结论：
①开口向下，说明;
②对称轴,可得;
③函数图象与轴有2个交点，说明：0″ data-formula-type=”inline-equation”>;
④顶点坐标即0″ data-formula-type=”inline-equation”>;
⑤当时，函数值0,f(1)=a+b+c.
根据上述结论来判断各个选项的正确与否：(1)∵0″ data-formula-type=”inline-equation”>∴,正确；
(2)把代入得：
,即：,正确；
(3)∵
∴0″ data-formula-type=”inline-equation”>
∴2b” data-formula-type=”inline-equation”>,选项(3)不正确；
(4)∵
∴
∵1,a
∴
故选项(4)正确.
综上所述，选项(1)(2)(4)正确.
答案：
【题型5】根据抛物线与轴交点个数求参数的取值范围.
【例题5】若函数的图象与轴只有一个交点，则__.
分析:题目条件给出的是“函数”，而非“二次函数”，因此需要同时考虑二次项系数为和不为两种情况.
详解：①当时，原函数为一次函数：
.此时函数图象与轴必有一个交点.
∴符合题意；
②当时，原函数为二次函数，二次函数与轴只有一个交点等价于一元二次方程有两个相等的实数根，则有：
.解得:或.
综上所述，的值为或或.
【题型6】二次函数与一元二次方程的关系的综合应用.
【例题6】已知二次函数，一次函数。若它们的图象对于任意的实数都只有一个公共点，求二次函数的解析式。
分析:理解题意是关键:对于任意的实数都只有一个公共点，说明由二次函数和一次函数组成的二元二次方程仅有一个解，因此需要利用判别式进行判断。
详解：依题意，联立得方程组：.
将方程②代入方程①得：
将上述方程整理成关于的一元二次方程：
上述一元二次方程仅有一个实数根，则有：
依题意，对于任意值，上述方程都成立，则必须满足：
解得：
∴二次函数的解析式为：.
【思考与总结】二次函数是一种较为复杂的函数，在学习二次函数时我们应从二次函数解析式的各种形式入手，深入理解二次函数图象的特点，根据其图象来理解二次函数的各种性质。二次函数是中考必考题，通常会与其他函数结合在一起以解答题形式出现，或者与平面几何相结合，是一类综合性很强的题型。我们在下一篇文章中来专门讨论二次函数的综合题。
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