中国古代，在数学方面最大的成就，是在某种程度上普及了“九九乘法表”。一一得一，二二得四，张口就来。在此基础上，脑子好用点的，百位以内加减乘除，比用计算器算得还快。而且，还传流下来一件神器——算盘！啪啪啪一打，看得洋人目瞪口呆！
这也给了当代中国人diss外国人数学不好的勇气：
“美国小学生，五年级了，8+8还得掰指头！”
“不给个计算器，美国佬8X8都不知道等于几！”
“美国考研究生的数学题还没有我初中的数学题难！”
这样的话听多了，让人倍感恍惚。陈省身干吗要去美国留学，难道是去普渡众生？丘成桐是怎么拿到菲尔兹奖的，难道是充美国话费送的？
暂且放下美国佬“学霸从严教、学渣放了羊”的精英教育模式不表。先来回想一下，我们的数学是怎么”好“起来的？答案是：背呗！
大概从小学二年级开始，老师要求背诵“九九乘法表”。老师对我们很客气：“要求也不高，正着背、倒着背、横着背、竖着背、斜着背，都得背过”，“什么？背不过？！背不过，你好意思自称'炎黄子孙'吗？”
于是，每天都要像背古文一样，背诵“九九乘法表”。而且，每到暑假，西游记重播，还能帮你复习N遍”九九八十一“。
耳熟能详的程度仅次于国歌！
我们对世界万物的认知方法，其一是原理，其二是经验。第一个遇到8X8=？这样问题的人，一定用8个8累加计算过，可能还反复验证过。于是，才得出结论：8X8=64。到此，原理就可以总结成经验，传播给下一个以及更多的人。而当经验广泛传播后，你再遇到一个用8个8累加计算8X8=？的人，脸上立马泛出鄙夷的神态：“这货莫不是个傻瓜？”
难道，用8个8累加计算得出8X8=64的计算原理错了吗？
当然没错，简直不要太正确好吧！只是它太简单了，你瞧不上：这还用算吗？！
老子在《道德经》里讲：道生一，一生二，二生三，三生万物。对于世界构成来讲，不管复杂与简单，它的底层逻辑是一以贯之的。用原理解决问题，可以贯穿始终；用经验解决问题，只能停留在一个特定的区间里。
掌握经验数学没有错，但不能让经验成为判断客观存在的唯一依据。
比如，我们要求一个三角形的面积，如下图：
一目了然，三角形的面积S=1/2 a^2。这个结果，是由一个边长为a的正方形的面积公式S=a^2推导来的，是经验公式。
我们再来用微积分的方法来推导一下：S=∫xdx，x∈[0，a]=1/2 a^2。结果是一样的。可见，没有经验公式，我们也可以从原理上去推导出来。
如果，我们往复杂的方向推进，经验数学还有效吗？
比如我们求一个圆的面积，如下图：
这时候，已经不完全是靠经验去求圆的面积公式了。我们需要借助极限近似的思想去解析它，把圆分割成小扇形，再拼合成一个矩形，得：S=π r^2。
我们再来用微积分的方法来推导一下。选取第一象限做计算单元，再找到可积的微分单元√（r^2-x^2）dx，x∈[0，r]
对其积分，得S/4=∫√（r^2-x^2）dx，x∈[0，r]
令x=rcosθ，则√(r^2-x^2)=rsinθ
dx=-rsinθdθ，得S/4=∫rsinθ*(-rsinθ)dθ，θ∈[0，π/2]=1/4 π r^2（略去中间过程）
则S=π r^2。
如果不用θ替代x，我们也可以求出√（r^2-x^2）dx的不定积分通式：
∫√（r^2-x^2）dx=x/2*√（r^2-x^2）+1/2 r^2*arc sin(x/r)+C
用这个通式，求定积分，结果也是S=π r^2。
再复杂一些的图形，用经验公式已经没法解了。但用微积分的原理，多难的都能找到解法。
和8个8累加的原理计算沉淀为8X8=64的经验公式一样，微积分的原理计算也积累下许多经验公式。上面那道公式∫√（r^2-x^2）dx=x/2*√（r^2-x^2）+1/2 r^2*arc sin(x/r)+C，就是从积公表里查到的。如下图，第67。
整个积分表几乎涵盖了乘积、开方、幂次方、指数、对数、三角函数、双曲函数等各类函数的表达形式。只要我们写得出导函数，就可以在积分表中找到对应的积分，让整体计算变得简单容易。
除了这个复杂的积分表，我们还有简单一些的常用积分表：
学习微积分，这些不定积分的式子是要熟记的，相当于微积分领域的“九九乘法表”。
读到此处，不知道还有多少人能留存住diss外国人数学不好的勇气。
有人讲，这些什么积分表，普通外国人都会吗，他们记得住吗？我觉得大部分美国佬肯定不会，这比8X8=?可难多了√的计算公式，但这不影响美国是个数学强国。代表一国的数学水平，那是数学家的事。就像打仗是军人的事，评价一个农夫花拳绣腿的水平有多高，是没有意义的！
论起数学来√的计算公式，逻辑很重要！
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