欢迎回来。这里是数学科学思维系列，旨在帮助大家快速梳理「向量、矩阵、积分、微分、函数、优化、概率」等数据科学的基础内核。上一期，我们给大家系统的梳理了「二次型矩阵」的相关要点，了解了二次型矩阵的定义和二次标准型的推导过程，这一期我们继续说说「正定矩阵」和「对称矩阵」。
首先，我们先把上期留在末尾的二次型小例子的解法进行揭晓。
壹 二次型例题讲解
将下列二次函数转为标准型形式：
Step 1 明确目标-找到对角矩阵
先根据二次项系数把矩阵 表示出来：
「这个对称矩阵一定存在一个与之相似的对角矩阵」，怎么求出对角矩阵呢？
Step 2 计算特征根
可通过 特征根来求解。
求出的
这样我们就找到了对角矩阵 :
Step 3 计算特征向量
接着我们根据每个特征根找到它们的特征向量，首先以 为例：
列出它的增广矩阵：
接着我们可以推出对应的第一个特征向量为：
根据上面的思路，我们继续计算出 时对应的特征向量：
Step 4 生成标准正交基
接着，我们对三个特征向量进行正交化处理：
三个向量分别除以它们的模，生成标准正交基：
这样我们就得到了三个主轴方向组成了形状，此处令：
然后令：
这样就得到了：
也可以写成：
这里的分母都是半长轴，这样我们就可以得到对应的椭球面曲线啦。
曲线
当然我们还可以把它化简成「规范型」的二次曲线形式，此处的规范型代表了二次项系数都为 ，这样就从椭球面变成了球面的形式：
最后得到：
贰 正定矩阵
好啦，说完了二次型，接着我们再来说说正定矩阵。
1.什么是正定矩阵？
首先，我们先来看一下正定矩阵的定义。
❝
如果一个二次型对于任意非零向量 都有：
0″ data-formula-type=”block-equation”>
则称该二次型为正定二次型，矩阵 为正定矩阵。
❞
具体而言，如果矩阵 的特征根都大于零什么是正交矩阵，那么 就是正定矩阵；如果矩阵 的特征根都小于零，那么 就是负定矩阵；如果矩阵 的特征根有的大于零、有的小于零，那么 就是不定矩阵。
2.正定矩阵的特点
如果我们把正定矩阵换成标准型的形式，即为：
如果是规范型的形式，即为：
此时，假如 ，正的特征根有 个什么是正交矩阵，对应的负的特征根有 个，那么矩阵 是正定矩阵的充要条件为：
❝
表示当矩阵 为正定矩阵时，其充分必要条件为：矩阵 的正特征根一共有 个，它与矩阵的秩 和维数 相等。
❞3.拟牛顿法中的正定对称矩阵
首先，我们用1分钟快速回顾一下在前期讲义中拟牛顿法的含义，其中使用拟牛顿法求解的核心在于找到海森矩阵的逆，海森矩阵为：
此处的海森矩阵 0″ data-formula-type=”inline-equation”> 即为多元方程中的二次导数，那么简要回顾一下二次导数大小对求解值的判断性质可知：
❝❞
这样大家是不是就把这个知识点串在了一起？想要求出凸函数的解，矩阵 需满足大于零，即矩阵的各个特征根均为正数，且特征根数与矩阵维数相同。
叁 对称矩阵
最后，我们来总结一下对称矩阵的特点。
1.对称矩阵
对称矩阵自然满足 ，假如此时有 ，其中 ，通过上面的等式展开有：
这样就得到了 方阵之间的正交基，为什么是正交呢？因为当 时， 两个方阵的内积为零，原因为此时的 和 是两组线性无关的特征向量，那么它们的内积自然为零。
2. 为非对称矩阵
假如 不是对称矩阵，怎么构造出对称的呢？
很简单，我们可以令 ，此时：
此时就构成了对称的方阵。
那么经过变化后的矩阵，满足以下四个结论:
❝❞
好啦，关于正定矩阵和对称矩阵的特点，我们就介绍到这里，下一期我们继续说说「矩阵分解」的内容。更新不易，喜欢这个系列的小伙伴请多多点赞支持，我们下期不见不散~
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