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公元2019年3月的一天，一位叫Tim Browning（与Timothy Browning是同一人）的数学家在其个人主页上更新了一个网页，网页上的内容非常简单，没有任何多余的东西：
33 = 8866128975287528³ + (-8778405442862239)³ + (-2736111468807040)³
上面的算式是将自然数33用整数的立方和表示了出来。但是，可能出乎你预料的是，这是人类第一次知道，世间还存在着这样一个等式，第一次——我们第一次把33用这种方式写了出来！
为什么我们对这样一个等式如此着迷，让我们一起看下去。
建造房子式的“堆垒数论”
我们知道我们茅草堆垒出来能建造茅屋、砖石堆垒起来能建造砖房、钢筋混凝土堆垒起来能建造高楼大厦。
现在许多高楼大厦都是钢筋混凝土建筑的，但是是不是所有的高楼大厦都可以由钢筋混凝土来建筑呢？
这其实就是“堆垒数论”的思想。我们用简单的语言表达这个堆垒数论考虑的问题，如果考虑A、B两个整数的子集。如果A中的数都能被B中的某几个数相加得到，我们就说A能被B堆垒出来。大多时候，我们还要限制使用B中数字个数的数量。这时候，所使用的B中的数叫做堆垒项。
举几个例子：
如果A是所有不小于6的偶数集合，B是素数集合，并限制只能用2个B中的数。那么问题就是著名的哥德巴赫猜想。
如果A是自然数集合，B所有完全平方数集合，并限制只能用2个B中的数。自然数的能不能写成两个数平方和问题。
如果A是自然数集合，B所有完全平方数集合，并限制只能用3个B中的数。自然数能不能写成三个数平方和问题。
以此类推……
有时候，我们还可以反过来研究，比如，如果所有自然数都能被B中的数加出来，那么多少个数之内一定能办到？
我们用233来举例子把：
下面这些正整数方程是否有解呢：
233 = x² + y²
233 = x² + y² + z²
233 = x² + y² + z² + w²
233 = x² + y² + z² + u² + v²
以上方程中的所有未知数地位是一样的，我们把那种通过交换顺序能变得一样的解看成相同的解可以得到：
第一个方程，有一组解：
233 = 8² + 13²
第二个方程，有两组解：
233 = 1² + 6² + 14²
第三个方程，有三组解：
233 = 2² + 6² + 7² +12²
233 = 3² + 4² + 8² +12²
233 = 4² + 6² + 9² +10²
第四个方程，有一组解
233 = 2² + 4² + 7² +8² +10²
在第三个方程的正整数解中，我们可以看出可以出现一样的元素12；
关于第四个方程有一则小故事整数包括什么，根据迪克逊的《数论史》(History of the Theory of Numbers)记载。1867年，史密斯(H. J. S. Smith)开始推广表为5个,7个平方数的结果。一位不为人知的委员会成员曾向巴黎科学院建议举办1882年的数学科学大奖(grand prix des science mathématiques)赛题目为“表为5个平方数的方法数”。实际上1881年春天就发布了公告悬赏这个问题，后来才将其作为赛题。史密斯和闵可夫斯基(H. Minkowski)（值得注意的是，闵可夫斯基当时才18岁）都获得了该大赛的全额奖金。他们俩都发展了n元二次型理论来求出表为5个平方数的方法数。
迷人的平方和
上面第一个方程为费马双平方和定理(Fermat’s two-square theorem)的一个特例。费马还是“一如既往地”只写命题不给证明，这个命题也一样。这个命题最早被欧拉证明的。费马的这一命题即给出了所有4n+1型的素数都可以唯一地分解为两个平方数之和（至于如何求其唯一表示可以参看西尔弗曼的《数论概论》第26章）。那么其他数呢？
有下面一个定理：
一个大于1的整数可以写成两个平方整数之和，当且仅当的它的标准素数分解中不包含4n+3型素数或者4n+3型素数是偶次。
比如637 = 7²·13有两个素因子7与13，而是4n+1型，而7模4n+3，但素数7的次数为偶数2，故637 可以表示为两个平方数之和。实际上，637 = 14²+21²。
关于平方，我们还有勒让德三平方和定理(Legendre’s three-square theorem)：
整数可以写成三个整数的平方和（即允许堆垒项为零），当且仅当的它不为4^a(8b+7)型的数。（其中,4^a表示4的a次方，a与b都取自然数）
值得注意的是这里用的是“三个整数的平方和”与双平方和情形的描述有所不同。
勒让德的这一定理可以写为等价形式：
整数可以写成少于四个平方数之和（默认平方数从1开始），当且仅当的它不为4^a(8b+7)型的数。（其中,4^a表示4的a次方，a与b都取自然数）
对于平方数且时，有拉格朗日四平方和定理(Lagrange’s four-square theorem)
每一个自然数可以写成四个整数的平方和（即允许堆垒项为零）。
我们不应该去纠结于当需要表示的数比较小时（比如取5、6，堆垒项总有零出现），四个整数中会出现零。我们应该看到当需要表示的数为很大很大的整数时，都可以由四个平方数来表示，就像再厉害的野马（大整数）都可以被这位驯马师（拉格朗日四平方和定理）驯服，这便就是此定理的重要意义。
华林问题
什么是华林问题呢？
1770年，英国当时的领袖数学家华林(Waring)（别因为音译名将其当作华人）在其《代数沉思录》（Meditationes Algebraicae）第二版中提到一句话：
每一个正整数可以写成4个整数的平方和（即允许堆垒项为零）；可以写成9个正整数的立方和整数包括什么，可以写成19个整数的四次方和，如此等等。
当然这句话的一部分就是拉格朗日的定理，第二部分是华林通过大量数值试验得出的猜想，第三部分也是他得出的猜想。
对于每一个给定的正整数k，存在一个最小的正整数g(k)，使得每一个自然数都可以写成不超过g(k)个整数的k次方和。
其中求g(k)的问题便是华林问题。经过上面关于平方数的介绍，我们知道了g(2) = 4。
1909年，德国数学家韦伊费列治(Wieferich)证明了g(3) = 9；后发现漏洞，于1912年由生于英国的美国数学家肯普纳(Kempner)补正；
1940年，印度数学家皮莱(Pillai)证明了g(6) = 73；
1964年，我国数学家陈景润证明了g(5) = 37；
1986年，三位数学巴拉苏布拉玛尼安(Ramachandran Balasubramanian)、德雷斯(F. Dress)和德西霍勒(Deshouillers)证明了g(4)=19；
再回来，整数立方和还有42
好了，回到我们最初的问题：自然数的整数立方和表示。在k=3时的华林问题中，我们知道每一个正整数都可以为不超过9个正整数的立方和；
如果将前面华林问题的堆垒项只允许用加法的条件放开，我们允许用减法，是什么情况呢？——这个问题其实就是简易华林问题——不要因为其命名为“简易华林问题”就觉得其比“华林问题”简单。
而将正整数表示成三个整数立方和的问题，就是堆垒项限制为3的简易问题。现在这个问题依然是没有解决的问题。
我们用v(k)表示满足相应条件最小的正整数，即对应于华林问题中的g(k).
1932年，V. Vesely证明了v(k)存在。
接着赖特(E. M. Wright)于1934年得到一个粗糙的估计：（此估计不等式的证明可以参看陈景润写的《初等数论Ⅲ》132页的内容）
v(k)≤2^(k+1) + k!/2
不久，赖特又对其改进，符号比较专业就不详述了。
再后来赖特还得到了v(k)≤2^(k+1) +4k，并研究了具体值。
1936年，莫德尔(Mordell)证明了除极少一部分数不能确定外，大部分整都适合v(3) = 4.
我国数学家柯召曾列出一张表，将100以内的数分解为4个立方数之和，表中几乎每一个数均可分解为x³+y³+2z³的形式，仅有两个例外
76 = 10³+7³+4³-11³,
99 = 5³+3³-1³
柯召教授这样做的目的或许是为了说明v(3)=4是正确的，但是这仅仅只能作为一些数值试验。
2003年，科学出版社出版了中文版的《数论中未解决的问题（第二版）》。其作者是为盖伊（1916年9月30日~）现在已经102岁高龄了。
在《数论中未解决的问题（第二版）》的第D章（该书编写了A~F章节）的D5问题中，提到除了形如9n±4数尚且不知道结论，对于所有其他的数都证明了是4个整数的立方和。
了解同余的小伙伴们，可以做下计算，任何整数的立方在mod 9 的情况下只有-1，0，1三种可能。所以 x³ + y³ + z³ 在mod 9 的情况下，只有0，±1，±2，±3这7种可能，而±4是不可能的。
所以形如9n±4数一定不能表示为三个整数的立方和。由此我们也可以知道v(3)>3，也就是说所有自然数不能仅由三个整数的立方和表示。但是退而求其次，哪些数可以由三个立方数表示呢？数学家们希望有像“费马双平方和定理”、“勒让德三平方和定理”这样的定理来引导人们，但是目前为止还没有。
接下来我们要步入主题了！
所有不为9n±4型的数都是三个整数的立方和吗？盖伊书中写道：1992年，他对所有小于1000的数用计算机搜索后发现,除了下面（标红部分截止2019年3月都还没有被解决）表中的数以外，对于其他小于1000的数都找到了这样的表示。
在1993年5月25日的一封电子邮件中，Andrew Bremner告诉盖伊有：
75 = 435203083³+(-435203231)³+4381159³
Conn和Vaserstein发现了
84 = 41639611³+(-41531726)³+(-8241191)³
后来人们找到了（上表标黄部分）
30=(-283059965)³+(-2218888517)³+2220422932³
52=60702901317³+23961292454³+(-61922712865)³
110=109938919³+16540290030³+(-16540291649)³
195=(-2238006277)³+(-5087472163)³+5227922915³
290=426417007³+2070897315³+(-2076906362)³
435=4460467³+(-4078175)³+(-2755337)³
444=3460795³+14820289³+(-14882930)³
452=(-2267462975)³+(-3041790413)³+3414300774³
462=1933609³+(-1832411)³+(-1024946)³
478=(-1368722)³+(-13434503)³+13439237³
2007年，Michael Beck, Eric Pine,Wayne Tarrant与Kim Yarbrough Jensen这四位数学家的论文指出小于1000的数还没有找到解的剩下：
33, 42, 74, 114, 156, 165, 318, 366, 390, 420, 543, 579, 609, 627, 633, 732, 758, 786, 789, 795, 903, 906 ,921, 948, 975
2016年，Sander G. Huisman指出小于1000的数还没有找到解的就剩：
33, 42, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, 975
最近，由Booker Andrew提交了一篇论文”Cracking the problem with 33″，论文中找到33这个文章开头的结果，由Browning公之于众。我们可以看到每个元素都是10的16次方的数量级，要读出来应该快读到亿亿位了！
另外在数学节目Numberphile中，Timothy Browning做了一期名为“The Uncracked Problem with 33”的问题介绍，可惜目前没有中文字幕。可以从论文”Cracking the problem with 33″的摘要与论文标题看出Andrew Booker写这篇论文正是源于该视频。
也就是说到目前为止，100以内的自然数就剩下42还没有找到关于立方和的整数解了！
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