限 时 特 惠： 本站每日持续更新海量各大内部创业教程，一年会员只需98元，全站资源免费下载 点击查看详情
站 长 微 信： muyang-0410
以微课堂
公益课堂，奥数国家级教练
与四位特级教师联手执教。
写在前面
许多同学对于增根，无解的概念还是十分模糊，容易混淆，因此本讲重点从增根的产生开始，详细讲解三类分式提高题．
一、分式方程无解的两种情况
例1
分析：
x＝2是原方程的解吗？
不是！当x＝2时，恰好使原分式方程中的分母等于0，从而使分式方程无意义．这样的根就叫做原分式方程的增根．
那么，解分式方程产生增根的原因是什么呢？
增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，这一步必须满足方程的两边都乘(或除以)的是同一个不为0的数．而当x＝2时，相当于原分式方程的两边都乘的数是0，那么变形前后的方程就不是同解方程了．
说得再直观些，比如方程2x＝4，两边同乘0，变成了0x＝0，前者只有一个解，后者有无数解，就不是同解方程．
因此，上面求得的根只能是原方程的增根．由此可知，增根有两条重要性质：
1、增根是去分母后所得整式方程的根．
2、增根使最简公分母等于0．
由此，我们应该在解出分式方程后，作必不可少的一步工作，那就是检验．
经检验，x＝2是增根，
原方程无解．
例2
分析：
此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．
由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．
应该共包含两种情形：
(1)原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的最简公分母为0，是原分式方程的增根，从而原方程无解．
(2)原方程去分母后的整式方程出现0x＝b(b≠0)的形式分式方程无解的两种情况，此时整式方程无解，原方程也无解．
二、增根，无解，有范围典型题3类
(1)含参方程有增根
例1
分析：
分式方程有增根，说明同乘的最简公分母为0，即可确定增根．而要求参数，则必须先解分式方程，去分母转化为整式方程，用含参数的代数式表示未知数，把是增根的未知数的值再代入，即可求出参数．
解答：
x－1＝0，增根是x＝1
两边同乘(x－1)得，
x－3＝－m，
x＝3－m，当x＝1时，m＝2
变式
分析：
由题意，可知最简公分母为(x＋2)(x－2)，则增根的值有2个，将其化成整式方程后，应该将两个值都代入．
解答：
(2)含参方程无解
例2
分析：
前文提到，分式方程无解，无非两种情况：(1)整式方程的解是增根(2)整式方程无解．
因此，必须把两种情况都考虑在内．
解答：
变式
分析：
考虑两种情况，在考虑是增根的情况下，应该注意增根是两个．
解答：
(3)含参方程的解有范围
例3
分析：
显然，还是要先把分式方程转化为整式方程求解，用含参数的代数式表示未知数，根据解的范围，建立含参数的不等式，求出参数的范围．
但这里尤其值得注意的是分式方程无解的两种情况，未知数不能是增根，即含参数的代数式的值不能等于增根的值．
解答：
变式
分析：
方法同上，注意增根有2个．
解答：
小结
以上3种例题，相信同学们都看懂了，到了总结归纳的时候了．
一、分式方程有增根方法总结：
（1）化为整式方程．
（2）确定增根．
（3）把增根代入整式方程求出字母参数的值．
二、分式方程无解方法总结：
（1）化为整式方程．(可能含字母参数为系数)
（2）把增根代入整式方程，求出字母参数的值．
（3）整式方程无解，则含字母参数的系数为0，求出字母参数的值．
三、分式方程的解有范围方法总结：
（1）化为整式方程．(可能含字母参数为系数)
（2）用含字母参数的代数式表示未知数，解不等式．
（3）把增根代入整式方程，求出字母参数不能取的值．
三、分式方程提高题两类
(1)待定系数法的运用
例1
分析：
本题既可以从通分的角度来看，也可以从解分式方程入手，得到4x＋1与含参数A，B的代数式相等的一个等式，继而利用待定系数法，这个代数式的一次项系数是4，常数项是1，得到关于A，B的二元一次方程，从而求出A，B的值．
解答：
(2)复杂分式方程
例2
分析：
本题若一次性去分母，最简公分母很复杂，因此，可以等式两边分别通分，观察分子之后，继续往下做．
解答：
《以微课堂》，由江苏省数学名师、数学奥林匹克国家级教练员，联手四名特级教师共同打造。
《以微课堂》旗下公众号矩阵
限 时 特 惠： 本站每日持续更新海量各大内部创业教程，一年会员只需98元，全站资源免费下载 点击查看详情
站 长 微 信： muyang-0410
