三棱锥外接球-学生空间想象力弱，给他看这张动图，用双圆模型解决四类外接球问题

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在立体几何的问题中，关于球的内接几何体的问题综合性较为强，需要学生有较好的空间想象能力，此时定会有学生大喊：“臣妾做不到啊！”事实上，很多立体问题必须放在平面中解决，一味的强调空间想象，往往会使问题陷入困境。本文介绍一中立体几何的解题技巧，名为“双圆模型”三棱锥外接球，可在棱锥的外接问题中大展身手！

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什么是双圆模型

双圆模型指在球O中出现两个截面（圆M和圆N），并且这两个截面会有一条公共弦。设公共弦的中点为C。

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由于球心到截面的距离必垂直于截面，即OM⊥圆M，ON⊥圆N。据此构造四边形OMCN，其中∠M=90°，∠N=90°。在四边形的平面几何世界中，运用几何或三角知识解决问题，从而研究立体几何的量！

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双圆模型的应用

应用1：球的双截面问题

例1、已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆。若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）

A．1 B．√2 C．√3 D．2

【分析】做出图形，找到双圆模型。做出四边形OMCN，由于此题两个截面互相垂直，那么该四边形是矩形。且矩形的对角线为√3，故圆心距MN为√3。

【答案】C

练习1：已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，．若，则两圆圆心的距离．

【答案】3

练习2：已知半径为5的球被互相垂直的两个平面所截，得到的两圆的公共弦长为4，若其中一圆半径为4，则另一圆的半径为（）

A. √10 B. √11 C . 2√3 D.√13

【答案】D

练习3：已知球的半径为8，ʘ和ʘ为该球的两个小圆，为ʘ与ʘ的公共弦.若，则 ( )

A.12 B.8 C.6 D.4

【答案】B

应用2：夹角问题

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练习题：

如图，在四面体ABCD中，△ABD是正三角形，AB⊥BC，AD⊥DC，AC＝2AB，则直线DC与平面ABD所成角的正弦值等于．

应用3：求截面面积

已知平面 α截一球面得圆M，过圆心M且与α成 60° 二面角的平面β截该球面得圆N。若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为( )

( A) 7π ( B) 9π ( C) 11π ( D) 13π

【分析】本题取圆M与圆N构成的双圆模型。画出直观图，如图设点O为球心，则OM⊥α，ON⊥β，且由平面α、β所成二面角为60°三棱锥外接球，可得∠MON = 60°.由圆 M 的面积为 4π，得其半径为2，所以OM=2√3。在Rt△ONM中，ON = OMcos 60°=√3，故圆N的半径为√13，从而其面积为13π。

答案选 D。

应用4：外接球问题

在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，SA =√3 ，SB = 2√3 ，二面角S－AB－C的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为

【分析】取△ABC、△SAB 的外接圆为双圆模型.如图,设M是边长为3的等边△ABC的外接圆圆心，AB的中点为P，则MP =（√3）/2，由AB²+ SA²= SB²，得△SAB 是以SB为斜边的直角三角形，其外接圆圆心为SB中点N．由NP = 1/2SA=（√3）/2 = MP，OP 为公共边，得 Rt△ONP≌Rt△OMP．于是，∠OPN=∠OPM=1/2∠NPM=60°,OP=2NP=√3。

所以，三棱锥的外接球半径R=OB=（√21）/2，表面积S=4πR²=21π。

练习题1：

已知是球面上的四点，若，二面角的平面角等于，则该球的表面积是。（答案用含有的式子表示）

【答案】28π/3

练习题2：

设直线与球有且只有一个公共点，从直线出发的两个半平面截球的两个截面的半径分别为，若二面角的平面角为，则球的表面积为（）

A、16 B、28 C、112 D、196

【答案】C

练习题3：

已知三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝2，BC＝2AD，直线AD与底面BCD所成角为，则此时三棱锥外接球的表面积为（）

A．4π B．8π C．16π D．8√2π/3

【答案】B．