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“平面图形镶嵌”课程将数学、信息技术、艺术、科学探索精神、工程设计理念以及生活实际应用巧妙地结合在一起。
以平面镶嵌为切入口，结合现实丰富的生活经验，探究其背后蕴含的丰富数学美学以及实际工程应用价值。引导学生自主应用信息技术手段进行探索研究。帮助学生在动手探索以及小组合作交流的过程中理解并掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。
01
教学活动设计
02
课堂实录节选
（一）环节一——情境吸引
1.教师提问
授课伊始，教师向学生展示“俄罗斯方块”游戏，将游戏画面定格在几种特殊情况下，需将基本图形进行“平移、旋转、翻折”等运动实现游戏目标。
2.师生互动
请同学在电子白板上操作演示，实际动手展示，并思考每次变换在做什么样的基本运动，S1 边操作边解释到：“首先，我将这个基本图形顺时钟旋转 90°，下面正好有三个方格的空缺位置；接下来，再通过垂直向下的平移运动，就可以消去一整行。”（纷纷举手想要试一试，课堂氛围较为活跃）【课堂反思】以学生较为熟悉的生活情境入手，特别是采用游戏化情境的导入方式，在动手操作的同时引导复习三大基本运动，能够较好地激活课堂氛围。
3.教师提问
此时，教师顺势提出“俄罗斯方块”游戏之中蕴含什么样的数学知识？指出小方块紧密排成一列时就可以消去得分。话锋一转，提问生活当中有这样的现象吗？并展示实际生活中的例子。继续追问，你发现了是由什么基本几何图形构成？怎样拼接在一起？
4.师生互动
（学生反应较为迅速）由正六边形、长方形等通过平移形成。
由生活中的现象，教师顺势导出本节课的课题——平面镶嵌。在初步形成概念后给出两个反例引导学生辨别概念并归纳平面镶嵌的基本要素：无缝隙、不重叠、可持续。
【课堂反思】怎样优化？
（二）环节二、三——动手探究、解释说明
在实际教学中发现，在探究完成后，学生先用自己的语言解释探究结果，教师给出科学完整解释。动手探究与解释说明是两个联系较为紧密的环节。
5.师生互动
从最基本的图形入手，正三角形能否实现平面镶嵌？（在第一轮教学实施经验基础上，简单图形教师直接展示并继续强化平面镶嵌基本定义）继续提问正方形能否实现平面镶嵌？（反应迅速）S2：“当然可以，四个小正方形就可以拼接成一个大正方形。”在此基础上，教师继续提问：“正五边形和正六边形是否可以实现平面镶嵌呢？”
6.合作交流
以四人为一小组，同学们用手中的材料包进行动手尝试，并试着填写学习单。教师巡视各小组完成进度。并请各组交流汇报。
①小组 1 汇报正六边形能够实现平面镶嵌：
小组 1：首先在这边放置一个正六边形，然后沿着一条边对齐在旁边再放置一个正六边形，这样一直拼接下去，最后发现这四个正六边形是可以紧密无缝隙不重合的放置在一起的，所以正六边形是可以实现平面镶嵌的。
②小组 2 汇报正五边形不能实现平面镶嵌：
小组 2：我们组是用四个五边形来拼的，首先一个放在这里，另外两个将相等的边靠在一起是可以的，但是接下来这里会有一条缝隙，就无法拼接下一个五边形，不能够无缝隙的拼接在一起，所以正五边形不能实现平面镶嵌。
教师在小组交流谈论的巡视过程中，发现有小组误认为正五边形的内角度数直接为周角，教师继续提问，帮助学生理清思路。具体课堂对话如下：
师：那你们组有没有算一算正五边形的内角度数呢？
生：通过代入学习单上的公式算出是 108°
师：很好，现在有位同学认为正五边形总的内角度数是 360°，你怎样向他解释？
生：（陷入思考之中）
师：（教师提示一条辅助线）我们已知三角形的内角度数是多少？
生：哦，我知道了。三角形的内角度数是 180°，然后正五边形可以分成三个三角形，每个三角形的内角度数各是 180°，所以三个三角形的内角度数是 540°
师：所以我们会发现正多边形的内角度数和它的边数有关，我们可以把它分成若干个三角形利用已知进行推导，课后同学们也可以尝试去证明一下多边形的内角公式，探究与边数到底有什么样的关系？
【课堂反思】在探究单一正多边形是否可以实现平面镶嵌的过程中，采用教师示范与小组合作动手探究相结合的方式，对于正三角形以及正方形这样比较简单的平面镶嵌图案，教师在操作过程中，帮助学生复习平面镶嵌的严格定义，同时能够有效提高课堂效率，第二轮教学实施中给学生更多小组合作自主探究的时间，相比第一轮教学实施，明显感觉到课堂探究氛围更加高涨，对于正五边形不能实现平面镶嵌也会有更加深刻的理解。在探究的过程中有意识渗透多边形内角计算公式，让学生在自主动手操作中去推导与理解公式。
7.教师提问
仔细观察下图它们之间有哪些相同点？有哪些不同点？引导学生归纳出实现平面镶嵌的条件为：正多边形内角度数是 360°的因数。教师继续拓展正七边形、八边形、甚至正一百边形能不能实现平面镶嵌？能否利用刚才的结论能找出所有可以实现平面镶嵌的正多边形？
不同正多边形内角度数比较
8.合作交流
请同学们沿着思路继续尝试探究，尝试用数学的方法找出所有能够实现平面镶嵌的正多边形。教师巡视指导并请有代表性的小组交流分享。
小组 3 同学在尝试化简后没了思路，课堂对话如下：
9.解释说明
教师再引导学生回顾整个过程，关注图中红色的基本图形（见下图），帮助学生理清平面镶嵌的实质就是基本图形经过“平移、旋转、翻折”三大运动最终得到的图形。
平面镶嵌的实质
【课堂反思】通过归纳对比，学生能够自主发现能够实现平面镶嵌图形的内角度数都是 360°的因数这一重要结论，在用数学方法证明环节，学生通过自主讨论能够较好地利用所学知识来解决新问题。最后，教师再次引导学生关注平面镶嵌的形成过程，体会平面镶嵌的实质就是基本图形经过平移、旋转、翻折后得到后的图形。
10.教师提问
教师引导学生将结论一般化，继续探究任意三角形、四边形是否可以实现平面镶嵌，在尝试正多边形平面镶嵌的基础上提问：“多个形状大小完全一样的任意三角形、任意四边形能实现平面镶嵌吗？”学生从感觉角度出发 S3 认为：“不一定，偶尔能，概率很小。”
11.合作交流
同学们以小组为单位合作动手探究，教师巡视查看各小组探究思路并适时指导。在给予学生更多自主探究的机会与时间后，在课堂中时不时闪现出思维的火花。一些教学片断如下：
①小组5 从特殊图形开始尝试
小组5：我们小组尝试从比较特殊的等腰梯形开始验证，沿着相等的边去拼接，发现是可以实现平面镶嵌的。
师：对于任意的三角形你们小组有什么样的想法？
生：我们用继续用特殊的等腰三角形来进行尝试师：好，等腰三角形，这个小组都是从特殊图形出发。我们看一下等腰三角形是否可以实现平面镶嵌？
生：（学生一边动手操作一边解释道）两个等腰三角形可以拼成一个平行四边形，平行四边形可以继续的拼接。然后拼成一个大的平行四边形。所以是可以实现平面镶嵌的。
师：小组5从特殊的角度出发，已经初步得出可以实现平面镶嵌的特殊情况，我们给这一组掌声鼓励一下。
②小组6 从不规则图形开始尝试
小组6：我们组剪出了一种很特殊的任意四边形（详见图），通过拼接发现是可以实现平面镶嵌的。
师：这组同学大胆尝试了一种不规则的四边形，后面我们还可以用这种图形来进行镶嵌设计，还是很有创意的。
12.师生互动
教师采用几何画板展示将较规则的四边形随意拖动改变顶点位置（见图），学生连连惊叹：“哇，好神奇呀”帮助学生进一步理解任意全等的四边形都可以实现平面镶嵌。
几何画板展示任意四边形实现平面镶嵌
【课堂反思】在探究任意全等的三角形、四边形是否可以实现平面镶嵌的问题中，学生已经初步具备从特殊到一般的思维模式，有小组从特殊的等腰三角形、等腰梯形入手。尝试先得出结论平面镶嵌，在思考如何进一步证明。也有小组打破成规，从较为特殊的不规则四边形入手，课堂当中交流氛围踊跃，不时闪现出思维的火花。最后，教师借助信息技术手段，更加直观动态地展现任意四边形都可以实现平面镶嵌，激发学生的探索与创新意识。通过以上课堂实录分析发现，突出“动手探究”环节的中心性。给予学生充分的小组合作探究时间，学生可以在自主尝试中解决问题。有效地培养学生的问题解决能力。
（三）环节四——迁移拓展
13.师生互动
在教学过程中尝试联系科学知识进一步拓展，引导学生利用所学知识解释生活中的实际现象，教师首先提问选取一种形状的瓷砖来铺设底面，哪一种形状最节省材料呢？学生 S7 肯定地答道：“肯定是正六边形, 因为蜂窝就是六边形。”教师从数学测量的角度解释，同样的长度正六边形围成的面积更大些，围成同样的面积所需的材料更少。并指出：“正多边形随着边数的不断增加会无线接近于圆，圆是几何图形中最稳定能够有效利用空间的图形。但由于圆无法实现平面镶嵌，在外部张力的作用下就变成正六边形，也就是常说的蜂窝图形”顺势请同学解释单个的泡泡是圆形，很多的泡泡在一起就会变成这样的形状（详见图）。
泡泡形状
生：刚开始单个泡泡是圆，因为圆的形状比较稳定，几个泡泡叠在一起由于外力作用会变成正六边形的形状，刚才通过计算知道正六边形的内角度数为120°，所以会形成图上的形状。
师：很好，我们可以利用所学知识来解释生活中的现象。同时在物理上我们也成120°夹角是最稳定的结构。
【课堂反思】在学习完平面镶嵌的基本知识点之后，教师拓展相关科学知识，此时，学生已经具备良好的迁移知识储备，教师只需提供相应的知识背景与问题情境，学生能够比较自然地进行知识的迁移运用，能够较好地应用所学知识解释生活中的实际现象。实现知识的综合应用培养跨学科素养。
14.师生互动
教师在课堂研究的基础上，进一步提出更多值得课下思考与研究的相关问题，提出正五边形是不能够实现平面镶嵌的，但是足球上却是正五边形加正六边形的组合，引导课后继续研究球面密铺的问题（见图）。
球面密铺问题
师：我们再仔细观察这个球网是什么样的形状？
生：都是正六边形
师：那同学们有没有思考过为什么是正六边形呢？
生1：因为正六边形可以平面镶嵌生
生2：从经济角度出发，可以有效节省材料
生3：最重要的还是正六边形结构稳定，不容易破
师：很好，同学们从各种角度出发，大家的答案都很有道理。
【课堂反思】借助生活中的实例强化迁移理解。从学生们各种角度的答案来看，学生以及能够比较好地实现知识的迁移。能够有效地培养学生的发散思维。由于课堂时间有限，教师选择介绍平面镶嵌相关问题，比如，“几种多边形的组合可以实现平面镶嵌吗？”“嫦娥五号中的影像镶嵌问题”引导学生课后继续自主研究。
（四）环节五——创意设计
15.师生互动
教师引导利用之前介绍的平面镶嵌的方法，来尝试设计平面镶嵌的图案平面镶嵌，可以是多种规则图形的组合，也可以是非规则的图形。学生们在了解平面镶嵌的基本方法后，尝试使用各种手段进行创意设计，有采用手绘、贴纸以及借助信息技术手段等各种方法。部分学生平面镶嵌设计作品如下（详见图）
学生平面镶嵌作品展示
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