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第一章 实数集与函数知识点梳理（Ⅰ）
摘要：第一章重点为上下确界知识与狄利克雷函数和黎曼函数，本章大家要学会开始适应数学分析文字语言表达方式，一定要试着动手写步骤尝试证明，本文按照课本顺序对各节考研知识热点进行重点梳理，重点然后结合2020年涉及的考研真题作为有效补充实数集，这样既能帮助大家巩固课本知识，同时对最新的考研命题趋势有一个直观了解，为了使得大家收获更多，文中发布的练习题会在下一次公众号内容中给予具体解答，同时欢迎大家在QQ群和微信群中分享习题解题思路和步骤，岩宝会竭尽所能给予解答滴！
1.1节 实数
在1.1节的学习过程中岩宝建议大家注意一下例2的证明语言，下面给出一个相关习题，节选自梅加强版本数学分析第一章课后习题。
习题1.1 设为实数，如果任给正数ε∈(0,1)，均成立，证明：.
1.2节 数集确界原理★
此节是本章的重点实数集，岩宝要求大家密切注意邻域、有界，无（上、下）界的定义，上下确界需满足的两个条件。
1.2.1 区间与领域
关于区间岩宝强调一点，区间与区间的并集合，但不一定是区间了，比如[1,2]∪[3,4]是集合，但是不能称为区间了。关于领域在后面的章节经常出现，大家注意空心左右领域对应的表示符号，注意空心圆圈在上，左右对应的加减符号在下，多写几遍哦。
大家注意定义1的上下界的定义，此时对应的是数集，在此只写无上（下）界集的情况。
S为无上（下）界集：对任意的数M，总存在，使得x>M (x S为无界集：对任意的正数M，总存在，使得|x|>M。
定义2和定义3中的上下确界定义，大家一定要记住同时满足两个条件，先证明是上（下）界，再证明是最小（大）界，注意表示符号和，例2给出了很好的步骤示范证明。
数集S若存在确界，则确界可能属于S，也可不属于S。
例3告诉我们若S有上确界，则,则二者等价，证明分为从左往右和从右往左。
对例3进行思考，若S有上确界，但是，我们对S会有什么理解呢？
首先此时的S的元素应该有无穷多个，上确界不在集合S里面，那么根据上确界的定义第二条，集合S中应该有很多元素s会离η非常近，要多近有多近。此时可以找到数列，使得，进一步可以想到此时找到的数列可以是单调递增数列，此证明在课本第二章数列极限第三节例3有证明。此题也是2020年中国海洋大学考研真题，分值15分。
2020年中国海洋大学考研真题第四题若E非空有上界，设sup E = a,且，证明：存在单调递增数列,且
定理1.1（确界原理）: 设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。
确界原理课本定理的证明大家不要害怕，要了解它的思想是通过不断的细分区间最终来找到S的上确界位置，每次都使得区间的右端点是上界，左端点不是上界，不停的进行下去，证明前十一行需要理解一下即可。
【习题1.2】 设A,B为非空有界数集，证明：Inf(A+B)=infA+infB；sup(A+B)=supA+supB.
其中
此题是课本此节课后习题7，也是梅加强版本的数学分析课后习题，岩宝再次要求大家写一下步骤哦。
在考察上下界的时候通常是涉及到函数值域的上下界，因此我们把将1.4节中有界函数的定义放在这里一块进行阐述。
f为D上的有界函数:若存在正数M，使得对每一个，都有.
f为D上的无上（下）界函数：对任何M,都存在,使得(0,存在,使得（若前两个用了还不行，则考虑此条件）
f，g在D上有界，则
两个函数相加以后的下确界不会变小，两个函数相加以后的上确界不会变大。
2020年上海财经大学考研真题第三题 【习题1.3】 设f,g在D上有界，证明：
此题也是课本本章总练习题第12题
【习题1.4】 设f在区间I上有界，记
证明：
此题也是课本本章总练习题第16题，强烈推荐!
END
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