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一、对面积的曲面积分的几何意义与物理意义
1、对面积的曲面积分的几何意义
当f(x,y,z)=1时，以上对面积的曲面积分等于积分曲面片∑的面积。
2、对面积的曲面积分的物理意义
当f(x,y,z)>0时，以上对面积的曲面积分等于面密度为f(x,y,z)的积分曲面片∑的质量。
【注】对面积的曲面积分具有与三重积分相同的积分性质，包括“偶倍奇零”的计算性质和“轮换对称性”。
【注】对面积的曲面积分的物理应用模型的构建与三重积分模型基本一致，只要把积分不好换成两个积分符号，积分区域换成曲面，积分微元换成dS记得到相应的对面积的曲面积分物理应用模型。
二、对面积的曲面积分的基本计算步骤
第一步：被积函数定义在积分曲面上。考虑借助描述积分曲面的方程简化对面积的曲面积分的被积函数，即可以将描述积分曲面的变量关系式代入被积函数变换、化简被积函数。
第二步：在直角坐标系中绘制积分曲面图形，或者直接借助描述积分曲面的方程，讨论积分区域图形的对称性和被积函数的奇偶性，包括图形的“轮换对称性”。从而在满足对称性、奇偶性和轮换对称性的条件下，借助“偶倍奇零”和轮换被积表达式变量转换、化简积分。
第三步：将积分转换为简单积分曲面上的积分。使用定义法直接计算对面积的曲面积分曲面面积公式，积分曲面必须要求为简单类型的曲面。即要求将积分曲面转换为能够直接用二元函数z=z(x,y),y=y(z,x),x=x(y,z)来描述的曲面。如果不能，则考虑将曲面进行分割，将其分割成为这样一些简单曲面的并。然后借助于积分对积分曲面的可加性，将各简单曲面上的积分求和得到最终的积分结果。
第四步：对于简单积分曲面，将曲面的面积元素，用二元函数变量确定的坐标平面上的面积元素来描述。即借助于积分的元素法，将曲面片近似为切平面片，有
● 简单XY-型曲面z=z(x,y)：
其中γ为曲面的切平面的法向量与z轴的夹角。
● 简单YZ-型曲面x=x(y,z)：
其中α为曲面的切平面的法向量与x轴的夹角。
● 简单ZX-型曲面y=y(z,x)：
其中β为曲面的切平面的法向量与y轴的夹角。
第五步：将被积表达式中的dS和被积函数中的函数变量，分别用上面计算得到的表达式和用描述积分曲面的二元函数替换，并将积分曲面替换为积分曲面在对应坐标面上的投影区域曲面面积公式，将对面积的曲面积分转换为二重积分，即有
第六步：选择合适的坐标系计算二重积分。
【注】如果积分曲面不为简单类型，可以将其分割成几种不同类型的简单曲面，然后分别利用以上步骤计算对面积的曲面积分，最终结果为所有积分曲面片上的对面积的曲面积分之和。
