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01
文 章 简 介
Abstract：
本文主要研究有序加权范数球上的投影问题，该投影问题是许多近端梯度算法的重要组成成分，因此，设计快速的算法计算有序加权范数球上的投影具有重要的理论意义。事实上，求解有序加权范数球上的投影问题等价于求解单调非负锥和仿射子空间交点上的投影问题，通过凸松弛方法，该问题可以进一步的简化为单变量分段仿射函数的求根问题。本文以池相邻逆序量合并算法和改进的割线法为基础，设计了一种简单、易于实现的高效算法（简称LRSA）求解有序加权范数球上的投影。在理论分析的基础上，刻画了LRSA算法的全局和局部收敛性，并证明该算法能在有限次迭代后终止。此外，本文利用单调非负锥和仿射子空间交点上投影问题的KKT条件，推导出一个包含单变量分段仿射函数零点的理想区间，实验结果表明该区间大大提高了所提算法的效率。最后，通过数值实验证明了LRSA算法求解有序加权范数球上投影问题的可行性和有效性，多个测试问题的数值结果表明，本文设计的算法在计算时间上优于半光滑牛顿算法（SSN）和传统的寻根算法（Root-F）。
This paper concerns with efficient projection onto the ordered weightednorm ball, which is equivalent to the problem of finding projector onto the intersection of the monotone nonnegative cone and an affine subspace. Based on Lagrangian relaxation and secant approximation method, we propose an easily implementable yet efficient algorithm to solve the projection problem which is proved to terminate after a finite number of iterations. Furthermore, we design efficient implementations for our algorithm and compare it with a semismooth Newton (SSN) algorithm and a root-finding (Root-F) algorithm. Numerical results on a diversity of test problems show that our algorithm is superior thanSSNand Root-F.
Keywords：
Lagrangian relaxation,
（拉格朗日松弛方法）
secant method,
（割线法）
ordered weightednorm ball.
（有序加权范数球）
Cite this article:
Liu, YJ., Xu, JJ. & Lin, LY. An Easily Implementable Algorithm for Efficient Projection onto the Ordered WeightedNorm Ball.J. Oper. Res. Soc. China(2022).
02
视 频 介 绍
03
内 容 简 介
本文主要研究求解有序加权范数球上投影问题的快速算法。基于凸松弛方法和改进的割线法[Dai and Fletcher, Math. Program. 106, 403-421 (2006)]，提出了一种简单、易于实现的高效算法（简称LRSA）求解有序加权范数球上的投影问题，其中采用池相邻逆序量合并算法计算非负单调锥上的投影作为LRSA算法的子问题。在理论分析的基础上，刻画了LRSA算法的全局和局部收敛性矩阵的1范数，并证明该算法能够在有限次迭代后终止。
值得注意的是，改进割线算法的一个重要组成部分是找到包含最优解的理想区间。基于单调非负锥和仿射子空间交点上投影问题的KKT条件矩阵的1范数，本文推导出一个包含单变量分段仿射函数零点的理想区间，并通过数值实验展示了该区间对LRSA算法、半光滑牛顿算法（简称SSN）和传统的寻根算法（简称Root-F）性能的影响，实验结果表明基于KKT条件得到的区间对SSN算法的效率影响不大，但大大提高了LRSA和Root-F算法的效率。
最后，作者通过数值实验评估LRSA算法的性能，大量的数值结果表明，LRSA算法求解有序加权范数球上投影问题较SSN算法和Root-F算法在计算时间上更具优越性。因此，LRSA算法是求解该投影问题的一种简单、易于实现的高效算法。
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